问题： 有5个人参加为期3天的比赛，每天比赛得分为5~1，三天后发现5人总分相同，问是否可能？ 解答： 设5个人为A，B，C，D，E，因为三天总分相同，所以每人每天平均得3分，每人总分都是9分。 考虑三天中得到5分的人，显然不可能有同一人得到两次5分，所以得5分的人分别是A，B，C三人。 不妨设ABC分别在1，2，3天得到5分。 再考虑得4分的人，如果有ABC中某人得到4分则已经有9分，所以得4分的人只能是D，E两人，又 这3个4分也不可能都同一人所得，所以D，E有一人拿了两个4分，设为D，另一人为E。 不妨设D在第一天和第二天拿4分，则E在第三天E拿4分，D拿1分。 现在考虑第三天的得分从低到高为D，？，？，E，C E需要在第1，2两天拿到5分，4分和5分已经被分配完毕，所以只可能3/2分布，也就是说3个2分中 E必须占一个，剩下的2个两分也必须给同一个ABC中的同一个人，因为剩下两个2分必有一个是第三天的 所以C不可能， 如果是A，则A在第二天也得2分。B则需要3/1分布，因为第三天的1已被D得， 因此第三天是{D，A，B，E，C} (表示当天得分从1到5，以后同)， 第二天则必须{？，？，？，D，B}这样B在第一天得1分{B，？，？，D，A} 最后三天的分布是 {{B，E，C，D，A}，{C，A，E，D，B}，{D，A，B，E，C}} 如果是B则有另一组解，从第三天{D，B，A，E，C}可推出 {{C，B，E，D，A}，{A，E，C，D，B}，{D，B，A，E，C}}

设\( P \)为正多面体，它的每个面有\( p \)个边，每个顶点是\( q \)个面的交点.用 Euler公式证明： \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \] 证明： 每个面有\( p \)个边，有\( f \)个面，每条边涉及两个面，所以有 \[ f \cdot p= 2\cdot e \] \[ \frac{2\cdot e}{p}=f \] 类似的，每个顶点是\( q \)个面交点，也就有\( q \)条边，每条边有两个顶点，所以算了两次 \[ v \cdot q= 2\cdot e \] \[ \frac{2\cdot e}{q}=v \] 又根据欧拉公式 \[ f-e+v=2 \] \[ f+v=2+e \] 两边除以\( 2e \) \[ \frac{2 \cdot e}{p \cdot 2 \cdot e} + \frac{2 \cdot e}{q \cdot 2 \cdot e} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \] 即 \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{2} + \frac{1}{e} \]

Where Reasons End 李翊云 著 兰登书屋 2021 192页 Where Reasons End 无疑是一本令人心碎的书。尽管被归类为虚构小说，但它实际上是作者李翊云与她已故儿子Vincent之间一场想象中的对话，这使得这本书并非传统意义上的文学虚构。书中的背景事件和人物经历都源于真实，因此这些对话无疑曾真实地在作者脑海中上演。 书中的儿子名字是Nikolai，是一个早慧的孩子，对文学和诗歌有着非凡的天赋，在乐团中演奏双簧管，仅仅十六岁就结束了自己的生命。书中的对话自Nikolai死后不久到开始，持续了三个月，书结束的时候 并未说明对话是否停止。在这些对话中，文学、语言和哲学是他们反复探讨的主题。生前，Nikolai就曾对母亲的写作风格提出过负面看法。即便在他去世后，母子间的许多争论依然围绕着词语的精准与优劣展开。如书中所言，Nikolai总能在辩论中占据上风。毫无疑问，即便在想象中，一个已逝的孩子与母亲对抗时，其优势地位几乎是压倒性的。 或许，另一个世界的Nikolai所说的话，只是李翊云对自身负面情绪的投射。因此，这本书也可以被解读为李翊云作为一名作家，对自我进行的批判与辩护。尽管李翊云以英语文学闻名，但她文字中蕴含的中华文化渊源不言而喻。例如，在书中她自然地引用了辛弃疾的词（“少年不识愁滋味”）和俗语（“吃过的盐比你吃过的饭都多”）。 阅读这场充满自我否定的对话，并非愉快的体验。当然，对于一本悲伤的书而言，作者或许也并不期待读者获得愉悦的感受。然而，我不得不思考，这种自我否定在多大程度上源于李翊云的女性和移民背景。仅仅因为孩子是更纯粹的西方文化代表，她便自觉处于劣势。在书中的多处细节中，Nikolai对母亲的英语表现出微妙的优越感，尽管李翊云本人就是一位英语系教授。 不管如何，去感受一个母亲最深切的悲伤，以及她如何通过文字与逝去的爱子进行一场永无止境的对话。